Ondes
électromagnétiques
I. Onde dans le
vide
1. Onde plane dans
le vide : cas général
1. Variables dont dépendent les
champs E et B dans le vide :
On se place dans le vide : 
On a vu page MP.P.9.3.1 que dans le vide, l’équation de
propagation de 
était : 
Intéressons nous à une propagation de l’onde plane selon
l’axe (0,z) : 
On a vu page MP.P.5.1.2 que les solutions de cette équation
de propagation sont nécessairement du type 
.
On ne s’intéresse qu’à une propagation dans un seul
sens : le sens positif : 
De même pour 
. (même équation de propagation)
On a donc : 
et 
De plus, les champs doivent satisfaire les équations de Maxwell.
2. Les champs doivent satisfaire
MG et MM ¼ onde TEM :
MG : 
.
Or, en notant 
, on a : 
Donc : 
. Donc, en ne prenant pas en compte les éventuels champs
statiques, on a : 
On procède de même pour 
(avec MM : 
) : on a : 
Conclusion : les champs E et B sont transverses (c’est-à-dire perpendiculaires à la direction de propagation). L’onde est une onde TEM (transverse électrique magnétique)
3. Les champs doivent satisfaire
MF ¼ E z B :
Avec 
, on a : 
et 
. Donc :
et 
MF : 
. Cela impose : 
En ne prenant pas en compte les éventuels champs statiques,
on a : 
. Donc : 
, donc : 
, donc : 
.
Donc : (u,E,B) est un trièdre direct
(avec 
: direction de propagation). 
4. L’énergie :
L’énergie est le long de l’onde : 
5. Conditions qui
permettent de considérer les ondes EM comme planes :
Conditions expérimentales et d’observation telles qu’on puisse considérer les ondes électromagnétiques comme plane : une onde est plane si le champ électromagnétique est uniforme dans tout plan (plan d’onde) orthogonal à la direction de propagation. Expérimentalement, on s’en approche en plaçant une source ponctuelle au foyer d’une lentille :
Cependant :
- le faisceau de sortie est limité (diaphragmé) par la lentille, d’où diffraction qui sera donc négligée.
- la source n’est évidemment pas rigoureusement ponctuelle (dans le 1er schéma, d’où le 2ème).
- le stigmatisme entre le foyer et le point image à l’infini n’est en général pas rigoureux.
2. Cas
particulier : L’O.P.P.M. dans le vide :
1. OPPM : définition
(rappel) :
Rappel : on a défini page MP.P.5.1.2 l’OPPM (onde plane
progressive monochromatique) ou OPPS (onde plane progressive
sinusoïdale) : c’est une onde du type : 
avec 
et 
En notation complexe on a : 
L’onde plane est infiniment étendue dans la direction perpendiculaire à la direction de propagation. Pour que l’onde plane existe, il ne faut pas qu’elle soit limitée (ne pas imposer de conditions aux limites)
2. Utilisation de la notation
complexe pour l’OPPM :
Il faut nécessairement :
-
que l’onde soit une OPPM (
)
- que la convention complexe soit celle de l’électricité (comme au dessus) (et non celle de l’optique).
Dans ce cas, on a : 
et 
Et donc : 
, 
et 
3. Relation de dispersion de
l’OPPM :
On a : 
et 
Et comme 
, on en déduit : la relation de dispersion de
l’OPPM : 
avec 
, selon le sens de propagation.
3. Onde non plane
dans le vide :
1. Détermination de E : cas
simple
Intéressons-nous par exemple à une onde du type : 
” 1er cas : 
Notons : 
. On a donc : 
Les solutions sont du type : 
Donc : 
En imposant des conditions aux limites, on fixe les
constantes et on peut par exemple, en fixant E=0 si z=0, avoir une solution du
type : 
” 2ème cas : 
Notons : 
. On a donc : 
Les solutions sont du type : 
Donc : 
2. Détermination de E : cas
un peu moins simple
Généralisation au cas où le champs E est du type : 
E doit toujours satisfaire les équations de Maxwell, donc MG :
Donc : 
, et : 
, donc : 
On a : 
, donc : 
On suppose plus particulièrement que : 
, donc : 
donc : 
Ceci devant être vrai quels que soient x et z, on en déduit que :
et 
(avec 
). On est donc ramené au cas précédent.
3. Détermination de B dans le cas
simple :
Calcul de B dans le cas où 
:
par MF
Donc : 
II. Onde plane dans un milieu
non vide
1. Diélectrique
parfait
et 
donné. On prend le
diélectrique parfait non chargé : 
.
remplace partout 
.
On se ramène ainsi à l’étude précédente. Compte tenu de ces hypothèses, les équations de Maxwell se simplifient.
Dans un diélectrique parfait, il y a une propagation possible d’OPPM.
On a la relation de dispersion suivante : 
2. Conducteur
imparfait
1. Ramener l’étude à celle d’un
diélectrique parfait :
[i] et 
. 
et 
On a donc : 
que l’on réinjecte
dans MA : 
Donc : 
On note : 
(complexe, donc
fictif, d’où l’étoile)
On est donc ramené à un diélectrique parfait de
permittivité relative 
[ii].
2. Allure de E :
On a : 
. Donc on ne peut pas
avoir à la fois 
et 
réels.
Donc : on prend 
réel et 
complexe.
On a donc alors : 
Si
, alors 
pour que l’onde
s’atténue (comme sur le graphique).
De même, si 
, 
. (Le sens de propagation est alors opposé au précédent).
3. Expression de E :
.
Donc : 
Donc : 
(dépend de 
).
On fait l’approximation suivante : 
. Remarquer que cette approximation dépend de la fréquence,
et n’est donc pas nécessairement toujours justifiée. Pour par exemple un
conducteur correct : 
et 
. L’approximation est justifiée.
Donc : 
On a : 
, donc : 
On obtient donc : 
(ainsi : 
et 
)
Remarque : on peut obtenir ce résultat d’une manière
un peu différente : en écrivant : 
. E0 est alors contenu dans f(z). On applique
alors l’équation de propagation. On obtient un équation différentielle en f(z)
qui donne finalement la même expression de E.
4. Epaisseur de peau :
Vitesse de phase : 
La longueur caractéristique de l’atténuation ou épaisseur
de peau est 
.
(elle est positive telle que : 
).
C’est la longueur de pénétration d’une onde dans un métal.
Ordre de grandeur : 
5. Calcul de B :
L’onde est TEM (transverse électrique magnétique), donc par
exemple de la forme : 
avec 
” 1ère méthode : on
sait qu’en introduisant des grandeurs complexes, on se ramène à un diélectrique
parfait : 
et 
Et alors, la relation valable pour une onde plane dans un
diélectrique parfait peut être utilisée : 
.
Remarque : on observe un déphasage entre B et E.
” 2ème méthode[iii] : on utilise MF
Donc : 
.
6. Le transport d’énergie :
Il faut calculer 
. Ceci n’est valable que dans ú. Dans ÷,
on n’a seulement les relations suivantes : 
On a par exemple : 
3. Plasma
1. Ramener l’étude à celle d’un
conducteur :
Un plasma est un gaz ionisé.
On étudie la propagation d’une OPPM dans le plasma : 
.
On suppose que le gaz est constitué :
- d’ions positifs de charge e : n par unité de volume
- d’électrons de charge –e : n par unité de volume
On suppose que les ions positifs sont fixes : que seuls sont mobiles sous l’action du champs les électrons.
La RFD pour un électron donne : 
où m est la masse de
l’électron.
B est sans doute de l’ordre de E/c, comme dans le vide.
Donc, pour 
, on a 
. Donc : on néglige l’action de B.
On a alors : 
, donc : 
Or 
(car seuls les
électrons négatifs sont mobiles)
Donc : 
. Donc : 
.
Donc on est ramené à l’étude d’un conducteur dont la conductivité est un complexe.
2. Ramener l’étude à celle d’un
diélectrique parfait
Comme nous l’avons déjà vu, l’équation MA nous donne : 
.
Donc, en considérant de nouveau un 
, on se ramène au cas d’un diélectrique parfait dans le
vide.
. Donc 
est réel.
Cependant, on laisse l’étoile car il s’agit bel et bien d’un 
virtuel : en
effet, alors que 
normalement,
ici : 
(et il peut même être
négatif).
Notons la pulsation de plasma : 
. On a donc : 
3. ” 1er cas : 
On a alors : 
Dans le plasma, l’onde se propage donc plus vite que dans le vide.
On a : 
(dépend de 
)
Donc le milieu est dispersif (la vitesse
dépend de 
). On a la relation de dispersion suivante : 
Dérivons cette relation : 
. Donc : 
On a aussi : 
. Donc : 
4. ” 2ème cas : 
On a donc : 
est réel. 
(c’est donc un
complexe)
On retrouve donc l’expression de E comme on l’a déjà fait plus haut.
En notant : 
, on a : 
, et par MF : 
.
Donc : 
, donc : 
5. Pas de pertes par effet
Joules :
, donc : 
, donc : 
6. Exemple de Plasma :
l’ionosphère
L’ionosphère est ionisée par le soleil. Les ondes radio
qu’on envoie par exemple vers les satellites doivent avoir une fréquence (plus
précisément une pulsation) plus grande que 
pour pouvoir
traverser l’ionosphère et être ainsi récupérées. Si 
, l’onde est réfléchie par l’ionosphère. Ceci a aussi des
applications.
III. Discontinuité
du champ
On étudie le passage du champ d’un milieu 2 à un milieu 1 (et réciproquement).
1. EN
Note : on va en fait noter dS S pour simplifier l’écriture du flux (et éviter les ddS par exemple).
Calcul du flux : 
Or : 
(et 
). Donc : 
On a : MG : 
ou plus
généralement : 
Or, par le théorème d’Ostrogradski : 
Donc : 
Or : 
Deux cas de figure se présentent :
-
s’il y a des charges en volume 
(mais fini), alors 
.
-
s’il n’y a que des charges surfaciques 
. Cela peut être le cas dans un conducteur parfait où 
, ou si on importe des charges à un isolant que l’on pose
alors en surface (Exemple : bâton d’ébonite, …)
On a donc en conclusion : 
, ou encore : 
2. BN
On effectue le même calcul que pour EN sachant
que 
.
On obtient donc : 
3. ET
Par MF : 
, et par le théorème de Stokes, on a : 
Or : 
, car B reste fini. Donc, la dérivée tend aussi vers 0
et : 
Or : 
Donc pour tout A et B on a : 
. Donc on en conclut : 
4. BT
MA : 
. Donc : 
Or : 
Donc, deux cas se présentent :
-
il y a des courants en volume : 
et 
-
il y a des courants en surface : 
. js et BT sont coplanaires. Calculons
BT*
et BTz
BT* : 
. Or, ceci doit être valable pour tout contour ABCD, donc on
a : 
BTz : Le problème
est de calculer le flux de js à travers la surface engendrée par le
contour. On obtient que le flux à travers ABCD vaut : 
. Donc : 
. Or, ceci doit être valable pour tout contour ABCD, donc on
a : 
Conclusion : 
5.
Relations de passages
On a établi : 
et 
.
IV. Réflexion
d’une OPPM sur un conducteur
1.
Pression de radiation
C’est la pression exercée par l’onde électromagnétique sur le conducteur parfait.
1. Calcul en
considérant le gaz de photon
Un photon transporte une quantité de mouvement[iv].
car un photon a une
masse nulle. De plus on a : 
. Donc : 
.
On s’intéresse à une réflexion normale d’une OPPM sur un
conducteur parfait. Lors du choc contre la paroi, la quantité de mouvement de
chaque photon varie ainsi : 
. Notons n le nombre de photons par unité de volume. Pendant
dt, il y a N chocs sur la surface S : 
.
2. Expressions de la
pression de radiation en fonction de E0 et B0
ou 
3. La pression de
radiation en fonction de la densité d’énergie interne
4. Retrouver
l’expression de la pression de radiation sans les photons
Ce n’est pas évident à cause des discontinuités des champs au niveau de l’interface.
2.
Conducteur en mouvement
1. L’effet Doppler
Lorsqu’une source émet un rayonnement à une fréquence fsource,
l’observateur le perçoit à une fréquence différente fobs, dès lors
que la source est en mouvement. On a : 
.
V. Ondes guidés
dans un conducteur
1.
Guide d’onde
1. Hypothèses
Ø hypothèses générales :
- ondes TE
- propagation selon (0z)
-
que l’on projette
ainsi : 
Ø Conditions
aux limites : 
. Cette condition ce traduit ainsi : 
.
Ø On
suppose que : 
2. Calcul de E
Ex vérifie l’équation de propagation : 
. Donc : 
. Ce qui revient à : 
. Or ceci doit être vérifié pour n’importe quels x et y.
Nécessairement, on a : 
.
La condition aux limite portant sur Ex fait que Ex
doit s’annuler en au moins deux valeurs distinctes de y : en 0 et en b.
Donc : nécessairement, g ne peut pas être une somme d’exponentiels réels.
Ce qui revient à imposer le fait que 
, donc on pose : 
. Donc : 
et 
, donc il existe n (entier) tel que : 
. Donc : 
On suppose aussi que : 
[v], 
. On a donc : 
.
On a : MG : 
, donc : 
, donc : 
, donc : 
http://roffet.com/documents/sciences/ondes-electromagnetiques/
Nicolas ROFFET 1999
.