Ondes électromagnétiques

I. Onde dans le vide

1. Onde plane dans le vide : cas général

1. Variables dont dépendent les champs E et B dans le vide :

On se place dans le vide :

On a vu page MP.P.9.3.1 que dans le vide, l’équation de propagation de était :

Intéressons nous à une propagation de l’onde plane selon l’axe (0,z) :

On a vu page MP.P.5.1.2 que les solutions de cette équation de propagation sont nécessairement du type .

On ne s’intéresse qu’à une propagation dans un seul sens : le sens positif :

De même pour . (même équation de propagation)

On a donc : et

De plus, les champs doivent satisfaire les équations de Maxwell.

2. Les champs doivent satisfaire MG et MM ¼ onde TEM :

MG : .

Or, en notant , on a :

Donc : . Donc, en ne prenant pas en compte les éventuels champs statiques, on a :

On procède de même pour (avec MM : ) : on a :

Conclusion : les champs E et B sont transverses (c’est-à-dire perpendiculaires à la direction de propagation). L’onde est une onde TEM (transverse électrique magnétique)

3. Les champs doivent satisfaire MF ¼ E z B :

Avec , on a : et . Donc :

MF : . Cela impose :

En ne prenant pas en compte les éventuels champs statiques, on a : . Donc : , donc : , donc : .

Donc : (u,E,B) est un trièdre direct (avec : direction de propagation).

4. L’énergie :

L’énergie est le long de l’onde :

5. Conditions qui permettent de considérer les ondes EM comme planes :

Conditions expérimentales et d’observation telles qu’on puisse considérer les ondes électromagnétiques comme plane : une onde est plane si le champ électromagnétique est uniforme dans tout plan (plan d’onde) orthogonal à la direction de propagation. Expérimentalement, on s’en approche en plaçant une source ponctuelle au foyer d’une lentille :

Cependant :

- le faisceau de sortie est limité (diaphragmé) par la lentille, d’où diffraction qui sera donc négligée.

- la source n’est évidemment pas rigoureusement ponctuelle (dans le 1^er schéma, d’où le 2^ème).

- le stigmatisme entre le foyer et le point image à l’infini n’est en général pas rigoureux.

2. Cas particulier : L’O.P.P.M. dans le vide :

1. OPPM : définition (rappel) :

Rappel : on a défini page MP.P.5.1.2 l’OPPM (onde plane progressive monochromatique) ou OPPS (onde plane progressive sinusoïdale) : c’est une onde du type : avec et

En notation complexe on a :

L’onde plane est infiniment étendue dans la direction perpendiculaire à la direction de propagation. Pour que l’onde plane existe, il ne faut pas qu’elle soit limitée (ne pas imposer de conditions aux limites)

2. Utilisation de la notation complexe pour l’OPPM :

Il faut nécessairement :

- que l’onde soit une OPPM ()

- que la convention complexe soit celle de l’électricité (comme au dessus) (et non celle de l’optique).

Dans ce cas, on a : et

Et donc : , et

3. Relation de dispersion de l’OPPM :

On a : et

Et comme , on en déduit : la relation de dispersion de l’OPPM : avec , selon le sens de propagation.

3. Onde non plane dans le vide :

1. Détermination de E : cas simple

Intéressons-nous par exemple à une onde du type :

” 1^er cas :

Notons : . On a donc :

Les solutions sont du type :

Donc :

En imposant des conditions aux limites, on fixe les constantes et on peut par exemple, en fixant E=0 si z=0, avoir une solution du type :

” 2^ème cas :

Notons : . On a donc :

Les solutions sont du type :

Donc :

2. Détermination de E : cas un peu moins simple

Généralisation au cas où le champs E est du type :

E doit toujours satisfaire les équations de Maxwell, donc MG :

Donc : , et : , donc :

On a : , donc :

On suppose plus particulièrement que :

, donc :

donc :

Ceci devant être vrai quels que soient x et z, on en déduit que :

et (avec ). On est donc ramené au cas précédent.

3. Détermination de B dans le cas simple :

Calcul de B dans le cas où :

par MF

Donc :

II. Onde plane dans un milieu non vide

1. Diélectrique parfait

et donné. On prend le diélectrique parfait non chargé : .

remplace partout .

On se ramène ainsi à l’étude précédente. Compte tenu de ces hypothèses, les équations de Maxwell se simplifient.

Dans un diélectrique parfait, il y a une propagation possible d’OPPM.

On a la relation de dispersion suivante :

2. Conducteur imparfait

1. Ramener l’étude à celle d’un diélectrique parfait :

[i] et . et

On a donc : que l’on réinjecte dans MA :

Donc :

On note : (complexe, donc fictif, d’où l’étoile)

On est donc ramené à un diélectrique parfait de permittivité relative [ii].

2. Allure de E :

On a : . Donc on ne peut pas avoir à la fois et réels.

Donc : on prend réel et complexe.

On a donc alors :

Si, alors pour que l’onde s’atténue (comme sur le graphique).

De même, si , . (Le sens de propagation est alors opposé au précédent).

3. Expression de E :

Donc :

Donc : (dépend de ).

On fait l’approximation suivante : . Remarquer que cette approximation dépend de la fréquence, et n’est donc pas nécessairement toujours justifiée. Pour par exemple un conducteur correct : et . L’approximation est justifiée.

Donc :

On a : , donc :

On obtient donc : (ainsi : et )

Remarque : on peut obtenir ce résultat d’une manière un peu différente : en écrivant : . E₀ est alors contenu dans f(z). On applique alors l’équation de propagation. On obtient un équation différentielle en f(z) qui donne finalement la même expression de E.